Le MOMOSITE vous présente :
	L'Enigme des Boules et de la Balance
	Page mise à jour le 14/03/2008

Un lecteur m'a posé la question suivante : 

Essai de solution

Il y a un problème d'énoncé :
Cas 1 :Si une boule est plus légère que toutes les autres la solution en 3 pesées existe.
Cas 2 : De même, si une boule est plus lourde que toutes les autres la solution en 3 pesées existe. 
Cas 3 : Si une boule est différente de toutes les autres sans que nous sachions au départ si elle est plus lourde ou plus légère, la solution en 3 pesées ne semble pas mathématiquement exister ! Mais il y en a une en 4 pesées

Solution pour le cas 1 

On répartit les boules en 3 sous-groupes de 4 (nous les appellerons A B et C)

Première pesée : on met A dans un plateau B dans l'autre, on ne touche pas à C
Si la pesée est équilibrée la boule plus légère se trouve dans C
Si la pesée est déséquilibrée la boule la plus légère se trouve dans le plateau montant.
Nous avons donc déterminé dans quel groupe de 4 se trouvait notre boule

Deuxième pesée : Je prends ce groupe de 4 et je le sépare en 2 sous-groupes de 2 boules que je vais appeler D et E. Je mets D dans un plateau, E dans l'autre
La pesée sera forcément déséquilibrée et la boule suspecte sera dans le plateau montant
Nous avons donc déterminé dans quel groupe de 2 se trouvait notre boule :

Troisième pesée : Je prends les 2 boules restantes, une dans chaque plateau
La boule la plus légère sera donc dans le plateau montant !

Cas 2 : c'est la même chose, mais il faut remplacer plateau montant par plateau descendant !

Cas 3 : Il y a deux solutions en 4 coups (l'une avec 4 groupes de 3 mais assez tordue),, restons donc dans nos groupes de 4

Première (et deuxième) pesée :
Si A équilibre B, la boule est dans C mais nous ne savons pas si elle est plus légère ou plus lourde ?
On peut passer à la suite, mais on ne fait que retarder le problème, car il faudra bien qu'on le sache avant la dernière pesée.
Donc on remplace B par C : si C descend, on aura affaire à une lourde, si C monte, on aura affaire à une légère

Si A déséquilibre B la boule est quelque part sur la balance mais on ne sait pas de que coté ?
On remplace donc B par C
Si A équilibre C, on dira que B contient la boule et on saura de par la position antérieure du plateau B si c'est une lourde ou une légère
Si A déséquilibre C, on aura donc B=C, la boule suspecte sera donc dans A et la position du plateau nous dira si l'intrus est lourde ou légère.

Il reste ensuite 2 pesées " classiques " 

Ai-je solutionné le problème ?

Cela dit, s'il a une solution miracle à laquelle je n'aurai pas pensé, je suis preneur. Je suis toujours ravi de me faire étonner !

voilà donc ce que j'écrivais le 17 décembre 2000...

...le 9 mars 2001, Florent m'adressait la solution, car elle existe (comme quoi parfois on peut en toute bonne foi soutenir mordicus que quelque chose n'est pas possible alors que...

La solution :

Faire trois pesées avec :

1 2 3 10 <-> 4 5 6 11
1 2 3 11 <-> 7 8 9 10
1 4 7 10 <-> 2 5 8 12

Les résultats sont :

(b = il ne se passe rien, l = balance à gauche, r = balance à droite)

Voilà :-)

et chapeau à celui qui à trouvé un truc pareil !